Принципы моих занятий с учениками.

Когда говорят об обучении математике, то слово "натаскивание" наделяют крайне негативным смыслом. "Я учу, а не натаскиваю"- говорит преподаватель, желая подчеркнуть высокий уровень своей работы. "Не нужно натаскивать, мы хотим, чтобы ребенок понимал"- беспокоятся родители. "Система ВНО (ЗНО) приводит к тому, что учителя в школе перестают учить и начинают натаскивать"- тема, часто обсуждаемая на различных интернет-форумах и в СМИ. Так что же такое "натаскивание" и "натасканность"?

Обычно, под "натасканностью" понимают такую ситуацию, когда ученик умеет решать определенные типы задач, знает формулы, определения и теоремы, но при этом не "понимает сути". Соответственно, "натаскивание"- это такой способ обучения, при котором ученика не учат "понимать". Таким образом, "натасканность"- это "знание" без "понимания", или, если хотите, в виде формулы:

"натасканность" = "знание" - "понимание".

Это простая и правильная формула, но, к сожалению, мало эффективная. В правой части стоит неизвестная величина - "понимание". В самом деле, совершенно неясно, какой смысл вкладывается в слово "понимание" (глубокое, полное и т.д.). У каждого из нас есть некое интуитивное представление о "понимании", однако, если мы захотим придать этому слову точный смысл, то натолкнемся на целый ряд трудностей.

Основная из них связана с относительностью "понимания". Рассмотрим характерный пример. В 11-ом классе общеобразовательной школы вводится понятие производной, а в классах с углубленным изучением математики даже формулируется строгое определение производной. Школьник может выучить его, разобрать примеры, геометрическую интерпретацию, уметь выводить основные свойства, но будет ли он понимать это определение так, как понимает хороший выпускник матфака? А можно ли, в свою очередь, утверждать, что выпускник матфака понимает суть производной так же хорошо, как великий Исаак Ньютон (физик и математик, который первым ввел понятие производной)? При том, что современный выпускник матфака знает гораздо больше, но навряд ли он может проникать в глубинную суть вещей так же как Ньютон. Так что же можно считать "хорошим уровнем понимания"? Мы можем говорить лишь о некой шкале "понимания", у которой есть начало, но нет конца (никто не может достигнуть "абсолютного понимания") и "понимание" каждого из нас занимает некоторое место на этой шкале.

Хорошо. Пусть "понимание" относительно, и "уровни понимания" располагаются на шкале. Но это не так уж и плохо. Мы можем промасштабировать шкалу и поставить на ней метки: "плохое понимание", "хорошее", "глубокое", "очень глубокое" и т.д. Однако здесь возникает другая трудность: не существует объективного способа измерить "уровень понимания". Очевидно, что "понимание" не сводится к умению решать сложные задачи (да в общем-то и не предполагает этого умения) или способности детально объяснять и логически обосновывать все шаги в длинном решении или доказательстве теоремы (часто "понимание" вообще трудно выразить словами). Поэтому, практически невозможно придумать задания и упражнения, с помощью которых можно оценить "понимание" (не знание или умение, а именно "понимание"). К тому же, если бы такие упражнения были созданы, то можно было бы "натаскивать" учеников на их решение, т.е. сама идея проверки "понимания" превратилась бы в абсурд. В то же время, каждый преподаватель математики может оценить "уровень понимания" своих учеников, однако эта оценка всегда носит субъективный характер, на неё влияет характер, знания, опыт преподавателя, его личные представления о том, что такое "понимание" и масса других факторов.

Перечисленные выше трудности делают полученную формулу малополезной. Поэтому, я предлагаю подойти к определению "натасканности" по другому.

"Натасканность"- это умение выполнять определенные действия (решать, доказывать, формулировать, определять и т.п.) без устойчивой внутренней потребности в их правильности и, как следствие этого, без внутреннего желания вырабатывать объяснения, удовлетворяющие эту потребность.

Соответственно, "натаскивание"- это способ обучения, который полностью игнорирует и/или подавляет внутреннюю потребность ученика в правильности выполняемых им действий.

Если ученик не имеет внутренней потребности в правильности, то решение любой задачи превращается для него в набор "алхимических заклинаний", а единственным критерием правильности решения является слово учителя. Если же потребность в правильности есть, то ученик будет искать (придумывать, вырабатывать, узнавать) удовлетворительное объяснение до тех пор, пока не найдет его. При этом, найденное объяснение может сильно отличаться от того, которое предлагает учебник или учитель, оно может быть неполным, ограниченным, логически неполноценным и даже неправильным. Это не страшно, здесь важно то, что объяснение появилось как ответ на внутренний запрос, а, значит, в ситуации, когда оно не сработает или окажется неправильным, ученик начнет искать новое, более полное и правильное объяснение. Он готов слушать преподавателя, который для него является источником и носителем искомого объяснения. А хороший преподаватель, в свою очередь, должен дать такое объяснение, которое смогло бы удовлетворить внутреннюю потребность ученика, а не было бы простой компиляцией текста учебника. Вот это и есть обучение без натаскивания.

Данное выше определение "натасканности" я хочу проиллюстрировать на примере. В 10-м классе при изучении темы "Показательная функция" решают показательные неравенства. Рассмотрим одно из простейших неравенств такого типа:

(0,5)x-2 > (0,25)x.

Запись решения этого неравенства в тетради ученика выглядит следующим образом:

(1) (0,5)x-2 > (0,25)x,

(2) (0,5)x-2 > (0,5)2x,

(3) a=0,5<1, значит, функция убывает, поэтому

(4) x-2 < 2x,

(5) x > -2.

(6) Ответ: x > -2.

Ключевой момент в решении - "отбрасывание" основания степени (переход от строки (2) к строке (4)). В данном неравенстве, при "отбрасывании" основания, знак неравенства ">" изменен на "<", потому что основание степени, равное 0,5, меньше единицы. Если бы основание было больше единицы, то знак неравенства следовало бы сохранить. Обычно решение таких заданий не вызывает затруднений у школьников - все хорошо запоминают когда нужно знак изменить, а когда сохранить. Однако, ответить на вопрос "Почему нужно делать именно так?" могут далеко не все.

Для данного неравенства ответ на этот вопрос выглядит следующим образом: рассмотрим показательную функцию f(x)= (0,5)x, тогда неравенство (0,5)x-2 > (0,5)2x можно записать в виде f(x-2)>f(2x). Функция f(x) является убывающей, т.к. её основание меньше единицы (свойство показательных функций), поэтому, согласно определению убывающей функции, неравенство f(x-2)>f(2x) равносильно неравенству x-2<2x. Отголоском этого объяснения является строка (3) в решении (учителя обычно требуют её записывать, хотя для большинства учеников это просто "заклинание").

Если ученик объясняет (прежде всего самому себе) переход от строки (2) к строке (4) именно так (или почти так), то это "высший пилотаж" и для него строка (3) наполнена вполне конкретным содержанием. Такое объяснение является достаточно строгим, полным и математически грамотным. Но ученик может иметь в голове другое объяснение. Например, такое: Я не знаю зачем писать про какие-то убывающие функции, я этого не понимаю. Я рассуждаю по другому. Если число 0,5 возвести в степень 2, то получим 0,25, а если 0,5 возвести в степень 3, то получим всего лишь 0,125. Т.е чем в большую степень мы возводим число 0,5 тем меньшее число получаем. Значит, 0,5 в степени х-2 будет больше чем 0,5 в степени 2х, если х-2 будет меньше чем 2х. Такое объяснение имеет определенные логические изъяны и является, по сути, частным случаем первого объяснения, но оно правильное и здравое. Это хорошее объяснение. Ученик имеет внутреннюю потребность в правильности, и он выработал отличное объяснение для её удовлетворения.

"Натасканность" в данном случае означает, что ученик хорошо знает, когда нужно изменить знак неравенства, а когда нет, записывает "заклинание" (строка (3)), но при этом у него не возникает даже малейшего желания объяснить себе правильность этих действий.

Кстати, исходя из личного опыта, могу сказать, что в большинстве случаев "натасканность" диагностируется очень просто. "Натасканный" школьник на вопрос "Почему ты сделал именно так?" отвечает "А что, разве это неправильно?"...

В заключение хочу сказать, что я не разделяю опасения тех, кто считает введение Независимого Внешнего Оценивания предпосылкой для замены "правильного обучения" "натаскиванием". У НВО есть свои недостатки, но "натаскивание" здесь не при чем. При любом способе проверки знаний, будь то традиционный письменный экзамен или Внешнее Тестирование, чистое "натаскивание" не может дать результат выше среднего. Разнообразие типов школьных задач настолько велико, что "натаскать" на всё невозможно.